주어진 신호 \(x_{T_0}(t)\)는 Harmonics의 합이다.
이전 포스팅에서도 언급했듯이 \(x_{T_0}(t) = \sum^{\infty}_{k=\infty}a_ke^{jkw_0t}\) 입니다. 이 때 \(e^{jkw_0t}\)를 harmonics라고 하고 모든 k에 대해서 각 harmonics는 서로 직교합니다. (inner product 시 0이 나옴.)
이 성질을 이용하면 주어진 신호에 대한 harmonics의 linear combination에서의 계수를 알 수 있습니다.
(여기에서 harmonics에서의 \(w_0 = 2\pi f_0\)이다. 즉, 주어진 주파수의 배수..)
푸리에 계수, 변환
이제 이 계수를 구하는 법을 알아봅시다. 주어진 신호에 임의의 sinusoid를 내적해봅시다.
$$ <x_{T_0}(t), e^{jrw_0t}> = <\sum^{\infty}_{k=\infty}a_ke^{jkw_0t}, e^{jrw_0t}> $$
이 식에서 각 k=r인 경우에만 값이 남게 됩니다.
$$ \int_{T_0}x_{T_0}e^{-jrw_0t}dt = \int_{T_0}\sum^{\infty}_{k=\infty}a_ke^{j(k-r)w_0t}dt $$
$$ \int_{T_0}x_{T_0}e^{-jrw_0t}dt = T_0a_r $$
$$ {1 \above 1pt T_0}\int_{T_0}x_{T_0}e^{-jkw_0t}dt = a_k $$
위 과정을 통해 계수를 구할 수 있게 되었습니다.
결국 이 계수를 안다는 것은 해당 주파수를 갖는 harmonics의 계수를 안다는 뜻이기 때문에 해당 주파수가 얼마나 포함되어있는지 알 수 있습니다. 이를 통해 time domain을 frequency domain으로 바꿀 수 있습니다.
계수의 의미
계수의 식은 결국 \({1 \above 1pt T_0}<x_{T_0}(t), e^{jkw_0t}>\)가 됩니다.
그럼 계수가 어떤 의미를 갖는 걸까요?
어떤 공간에서 벡터를 해당 공간의 직교기저벡터들에 내적한다는 것은 직교기저벡터들이 이루는 정도에 대한 수치를 구한다는 뜻입니다.
예를 들어 [1,2,3]이라는 벡터가 있으면 직교기저벡터 [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]의 합으로 나타내기 위해서는 계수를 구해야하는데, 이 계수는 <[1,2,3], [1,0,0]>, <[1,2,3], [0,1,0]>, <[1,2,3], [0,0,1]>로 구할 수 있습니다.
여기서 보이는 것처럼 이 주어진 벡터가 직교기저벡터에 내적하게 된다면 해당 신호에 대해 각 표준직교기저벡터가 어느 정도로 이루고 있는지를 알 수 있습니다.
뭐 이 공간에서 직교기저벡터에 해당하는 sinusoid들 각각에 대한 유사도라고 생각할 수도 있고, span과 연관지어 생각할 수도 있고 그렇습니다. 결국 같은 의미겠지만요.
Convergence of CTFS
근데 taylor series를 taylor polynomial로 표현하는 것처럼 저희는 무한대의 harmonics를 적용하기는 좀 어렵습니다. 그래서 \((-\infty, \infty)\) 구간 대신 \([-N,N]\)에 대해 생각 할 필요가 있습니다.
그럼 만약 저희가 무한의 구간이 아닌 특정 정수 N 에 대한 구간을 기준으로 푸리에 계수들을 구한다고 해봅시다. 여기에서 N을 무한대로 보냈을때 과연 동일해질까요??
그럼 일단 앞에서 공부했던 Energy 기준으로 봐봅시다.
Energy 확인
\(\tilde x_{T_0}(t) = \sum^{N}_{k=-N}a_ke^{jkw_0t}\)라고 했을 때, (유한한 구간에 대한 fourier series..)
$$ \int_{T_0} |x_{T_0}(t)|^2 dt < \infty \rightarrow \lim_{N\rightarrow \infty}\int_{T_0}|x_{T_0} - \tilde x_{T_0}(t)|^2dt = 0 $$
물론 Energy gap이 0으로 가긴 합니다만, 이 뜻이 \(x_{T_0} = \tilde x_{T_0}(t)\)를 의미하진 않습니다.
이를 만족시키기 위해서는 Dirichlet condition을 만족해야 합니다.
Dirichlet Condition
1) \(\int_{T_0} |x_{T_0}|(t) < \infty\)
2) min, max point가 유한개
3) Discontinuous 지점이 유한개
이걸 만족하면서 energy gap이 0이 되면 같아집니다.
주의 해야할 점은 \(x_{T_0} = \tilde x_{T_0}(t)\)이라고 해서 저 조건들이 만족되는 것이 아닙니다. (필요조건임..)
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