신호 처리 공부 [3] Vector와 Sinusoids

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비전공자인 저는 전반적으로 혁펜하임님의 영상을 기반으로 공부합니다.

혁펜하임

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Fourier Series와 Vector

시리즈 하면 가장 먼저 떠오르는 게 있습니다. 바로 테일러 시리즈!

테일러 시리즈란 어떤 함수를 근사 Polynomial로 표현하겠다는 것 입니다. 푸리에 시리즈도 이와 같습니다.

기본적인 아이디어는 주기함수는 정현파(Sinusoids)의 합으로 표현 될 수 있다는 것입니다.

$$ x_{T_0} = \sum^\infty_{k=\infty}a_ke^{jkw_0t} $$

여기에서 $x_{T_0}$은 주기를 $T_0$을 갖는 주기 함수이고 $w_0 = 2\pi {1 \above 1pt T_0}$입니다. k 는 정수 입니다.

즉, target 주파수의 정수배를 linear combination해서 target을 만듦을 알 수 있습니다.

앞에서 말했듯이 주기를 갖는 함수를 주기를 갖는 정현파의 linear combination으로 나타낸다는 것은 vector space를 이룸을 알 수 있습니다.

그래서 해당 $e^{jkw_0t}$는 벡터라고 생각할 수 있습니다. 앞에서 말했듯이 linear combination으로 또 다른 주기함수를 표현할 수 있기 때문에 이는 벡터합, 상수곱에 대해 닫혀있다고 할 수 있습니다.

$$ x_{T_0} = \sum^\infty_{k=\infty}a_ke^{jkw_0t} $$

위에서 언급했던 이 식처럼 k는 $(-\infty, \infty)$의 구간에 대한 정수라서, $e^{jkw_0t}$은 무한 차원에 대한 기저들이라고 생각할 수 있습니다.

특히 이 기저들이 이루는 벡터공간은 inner product space인데요, 이 공간에서 inner product는 아래와 같이 정의 됩니다.

$$ <,> : V\times V \rightarrow F $$

$$ <a(t), b(t)> = \int_{T_0}a(t)b^{*}(t)dt $$

이 space에 대해 정의된 내적을 통해 서로 벡터가 직교인지 알아봅시다.

$$ <e^{jkw_0t}, e^{jrw_0t}> = \int_{T_0}e^{j(k-r)w_0t} $$

$$ = \int_{T_0}cos(k-r)w_0t + jsin(k-r)w_0t dt $$

이에 대한 결과는 k와 r이 다를때는 0, 같을 때는 $T_0$을 갖게 됩니다.

즉, 서로 모두 직교함을 알 수 있습니다.

결론 : Infinite Orthogonal Basis

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