신호 처리 공부 [1] Introduction

비전공자인 저는 전반적으로 혁펜하임님의 영상을 기반으로 공부합니다.

https://www.youtube.com/channel/UCcbPAIfCa4q0x7x8yFXmBag

혁펜하임

 

Euler Formula

우선 오일러 공식이 어떻게 생겼는지, 어떤 방식으로 대략 유도할 수 있는지에 대해 살펴보고 어떤 의의를 갖는지 봅시다.

 

$$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$$

 

이 식은 테일러 급수의 특수한 케이스인 매클로린 시리즈로 표현이 가능합니다. 혹시 모르시는 분을 위해 위키피디아 링크를 올려놓겠습니다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B8%89%EC%88%98

테일러 급수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

간단히 테일러 급수에 대해 말씀 드리면, 임의의 함수를 다항식의 형태로 표현하는 것 입니다. 무한대의 급수를 중간의 n개로 끊어서 표현하면 해당 함수를 근사하는 테일러 다항식이 됩니다.

 

어쨌든 이 매클로린 시리즈를 통해서 위의 오일러 공식을 풀어봅시다.

 

$$e^{j\theta }=1+j\theta -\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{2!}{\theta }^2-\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{3!}{\theta }^3+\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{4!}{\theta }^4...$$

 

그리고 우항의 코사인과 사인 부분을 매클로린 시리즈로 풀게 되면

 

$$cos\theta =1-\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{2!}{\theta }^2+\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{4!}{\theta }^4...$$

$$sin\theta =\theta -\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{3!}{\theta }^3+\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{5!}{\theta }^5...$$

이런식으로 표현이 됩니다.

잘 살펴보면 이 매클로린 시리즈로 풀어냈을 때 $cos,j\ast sin$을 더하면 오일러 공식과 동일한 결과가 나옴을 알 수 있습니다.

 

이 오일러 공식처럼 삼각함수로 이루어진 complex 형태는 복소평면에 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

그래서 이게 어디에 유용한데?

자 앞에서 공부한 것을 보면 저희는 모든 complex number를 지수함수 꼴로 표현함을 알 수 있습니다.

complex number는 $a+bj$ 보통 이런 형태를 띄고 있습니다. 만약 complex number끼리의 곱을 구해야한다면 계산이 꽤 많이 필요합니다.

하지만 이를 오일러 공식을 통해 지수함수로 만들어서 곱한다면 굉장히 쉽게 표현할 수 있습니다.

예를 들어 임의의 두 complex number를 설정하고 곱해야한다고 생각해봅시다.

$$r_1{e}^{j{\theta }_1}=a+bj$$

$$r_2{e}^{j{\theta }_2}=c+dj$$

$$(a+bj)(c+dj)=r_1{r}_2{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

이 식의 전개처럼 굉장히 간단하고 편하게 사용 할 수 있습니다. 이 곱에 대해서 뿐만이 아니라 미분에 대해서도 생각해보시면 좋을 것 같습니다.

 

즉 결론은 수학적인 용이함 때문에 사용한다!

 

Complex Signal의 존재

 

근데 왠 갑자기 complex number가 나왔을까요? 실제로 존재하긴 하는 걸 까요?

 

이를 설명하기 위해 두 신호를 한번에 보내야하는 경우를 생각해봅시다.

 

하나의 신호만 한번에 보내서 사용할 수 있다면 굉장히 시간도 오래걸리고 불편할 것입니다.

그래서 두 신호를 한번에 하나의 신호로 만들어놓고 보내서 분리합니다.

일단 이런 방법으로 보낼 수 있습니다.

a(t), b(t)라는 신호가 두개 존재한다고 했을 때 각각에 대해서 삼각함수를 곱해준 다음 하나의 신호로 만들어냅니다.

이 하나의 신호에 곱했던 것을 다시 곱해서 Low pass filter를 거치게 합니다. 그 후 2를 곱해주면 각각 원래의 신호를 얻게 됩니다.

보통 중학교때나 고등학교때 배우는 삼각함수 공식을 사용한 예입니다. (좀 신기했습니다. 학창시절 때 배운게 이런 곳에 사용되다니..)

 

하지만 좀 구조와 식이 복잡합니다.

이렇게 하지말고 

$$a(t),b(t)\to a(t)+jb(t)$$

이렇게 복소수 신호로 만들어서 생각해봅시다.

 

여기에 $e^{jwt}$를 곱한 다음 실수부를 뽑으면 위의 $a(t)cos(.)-b(t)sin(.)$형태가 나오게 됩니다. 이를 하나의 신호로 여깁니다.

 

이 신호를 보낸 다음 다시 $e^{-jwt}$를 곱하고 low pass filter를 거치면 저희가 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

 

$$(a(t)+jb(t))e^{jwt}=z(t)e^{jwt}$$

이 식을 Analytic Signal이라고 부릅니다. 이를 사용하면 수식전개가 매우 편해집니다.

 

 

위의 과정을 간략히 나타낸 바 입니다.

 

Energy, Power

$${\int }_{t1}^{t2}|x(t){|}^{2}dt$$

위 식은 주어진 구간에 대한 Total Energy 입니다.

참고로 complex number에서의 절대값은 $|a+bj|=\sqrt{a^2+b^2}$ 이런 형태입니다.

 

왜 이런 형태로 나오는 걸까요?

이는 물리에서의 energy로 거슬러 올라가야하는데요. 물리에서의 energy는 일을 했을 때 발생하는 물리량을 의미합니다.

뭐 이 개념을 기반으로 하면 대략 식이 이해가실 것 같습니다.

 

Power는 물리에서 일의 미분에 해당합니다. 특히 전력이라고 부르기도 하구요. (비전공이라 와닿지는 않네요.)

 

신호처리에서의 power에 대해서는 미분, 즉 순간적인 시간에 대해 생각하기 보다는 시간의 구간으로 표현합니다.

$$\genfrac{}{}{1pt}{}{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt$$

이를 평균 power 라고 부릅니다. 이 때 t를 극한으로 보내서 infinite interval에 대한 Power라고 보는 경우도 있다고 합니다.